Вычислить значение производной в точке x0. Найти значение производной функции в точке х0. Как найти значение производной функции f x в точке x0

В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

Вычисление значения производной. Метод двух точек

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

Вычисление точек максимума и минимума

Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Калькулятор вычисляет производные всех элементарных функций, приводя подробное решение. Переменная дифференцирования определяется автоматически.

Производная функции — одно из важнейших понятий в математическом анализе. К появлению производной привели такие задачи, как, например, вычисление мгновенной скорости точки в момент времени , если известен путь в зависимоти от времени , задача о нахождении касательной к функции в точке.

Чаще всего производная функции определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если он существует.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Тогда производной функции в точке называется предел, если он существует

Как вычислить производную функции?

Для того, чтобы научиться дифференцировать функции, нужно выучить и понять правила дифференцирования и научиться пользоваться таблицей производных .

Правила дифференцирования

Пусть и — произвольные дифференцируемые функции от вещественной переменной, — некоторая вещественная постоянная. Тогда

— правило дифференцирования произведения функций

— правило дифференцирования частного функций

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — дифференцирование функции с переменным показателем степени

— правило дифференцирования сложной функции

— правило дифференцирования степенной функции

Производная функции онлайн

Наш калькулятор быстро и точно вычислит производную любой функции онлайн. Программа не допустит ошибки при вычислениях производной и поможет избежать долгих и нудных расчётов. Онлайн калькулятор будет полезен и в том случае, когда есть необходимость проверить на правильность своё решение, и если оно неверно, быстро найти ошибку.

Про геометрический смысл написано много теории. Не буду вдаваться в вывод приращения функции, напомню основное для выполнения заданий:

Производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, то есть это тангенс угла наклона к оси Х.

Возьмем сразу задание из ЕГЭ и начнем в нем разбираться:

Задание №1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Кто очень торопится и не хочет разбираться в объяснениях: стройте до любого такого треугольника (как показано ниже) и делите стоячую сторону (вертикальную) на лежащую (горизонтальную) и будет вам счастье, если про знак не забудите (если прямая убывает(→↓), то ответ должен быть с минусом, если прямая возрастает(→), то ответ должен быть положительный!)

Найти нужно угол между касательной и осью Х, назовем его α: проведем параллельную оси Х прямую в любом месте через касательную к графику, получим тот же угол.

Лучше не брать точку х0, т.к. понадобится большая лупа для определения точных координат.

Взяв любой прямоугольный треугольник (на рисунке предложено 3 варианта), найдем tgα (углы, то равны, как соответственные), т.е. получим производную функции f(x) в точке x0. Почему же так?

Если мы проведем касательные в других точках x2, x1 и т.д. касательные будут другие.

Вернемся к 7 классу, чтобы построить прямую!

Уравнение прямой задается уравнением y = kx + b , где

k - наклон относительно оси Х.

b - расстояние между точкой пересечения с осью Y и началом координат.

Производная прямой, всегда одна и та же: y" = k.

В какой бы точке на прямой мы не взяли производную, она будет неизменна.

Поэтому, осталось только найти tgα (как было сказано выше: делим стоячую сторону на лежачую). Делим противолежащий катет на прилежащий, получаем, что k = 0,5. Однако, если график убывает, коэффициент отрицательный: k = −0,5.

Советую себя проверять вторым способом:
По двум точкам можно задать прямую. Найдем координаты двух любых точек. Например, (-2;-2) и (2;-4):

Подставим в уравнение y = kx + b вместо y и х координаты точек:

−2 = −2k + b

Решив эту систему, получим b = −3, k = −0,5

Вывод: Второй способ дольше, но в нем вы не забудете про знак.

Ответ: − 0,5

Задание №2 . На рисунке изображён график производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?

Если график функции убывает - производная отрицательна (верно и наоборот).

Если график функции возрастает - производная положительна (верно и наоборот).

Эти две фразы помогут вам решить большую часть задач.

Внимательно смотрите, рисунок производной вам дан или функции, а дальше выбирайте одну из двух фраз.

Построим схематично график функции. Т.к. нам дан график производной, то там, где она отрицательна, график функции убывает, где положительна - возрастает!

Получается, что 3 точки лежат на участках возрастания: x4; x5; x6.

Ответ: 3

Задание №3. Функция f(x) определена на промежутке (-6; 4). На рисунке изображен график ее производной . Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

Советую всегда строить, как идет график функции, такими стрелочками или схематично со знаками (как в №4 и №5):

Очевидно, если график возрастает до −2, то максимальная точка и есть −2.

Ответ: −2

Задача №4. На рисунке изображён график функции f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, ..., x12. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Задача обратная, дан график функции, нужно схематично построить, как будет выглядеть график производной функции, и посчитать, сколько точек будет лежать в отрицательном диапазоне.

Положительные: x1, x6, x7, x12.

Отрицательные: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Ответ: 7

Еще один вид заданий, когда спрашивается про какие-то страшные "экстремумы"? Что это такое вам найти не составит труда, я же поясню для графиков.

Задача №5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-16; 6). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-11; 5].

Отметим промежуток от -11 до 5!

Обратим свои светлые очи на табличку: дан график производной функции => тогда экстремумы это точки пересечения с осью X.

Ответ: 3

Задача №6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-13; 9). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12; 5].

Отметим промежуток от -12 до 5!

Можно одним глазом взглянуть в табличку, точка максимума - это экстремум, такой, что до него производная положительна (функция возрастает), а после него производная отрицательна (функция убывает). Такие точки обведены в кружочек.

Стрелочками показано, как ведет себя график функции

Ответ: 3

Задача №7. На рисунке изображен график функции f(x),определенной на интервале (-7; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Можно посмотреть на выше приведенную табличку (производная равна нулю, значит это точки экстремума). А в даной задаче дан график функции, значит требуется найти количество точек перегиба !

А можно, как обычно: строим схематический график производной.

Производная равна нулю, когда график функций меняет свое направление (с возрастания на убывание и наоборот)

Ответ: 8

Задача №8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 10). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Построим схематично график функции:

Там, где он возрастает, получаем 4 целые точки: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Ответ: 22

Задача №9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 6). Найдите количество точек f(x), в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 2x + 13 или совпадает с ней.

Нам дан график производной! Значит, и нашу касательную нужно «перевести» в производную.

Производная касательной: y" = 2.

А теперь построим обе производные:

Касательные пересекаются в трех точках, значит, наш ответ 3.

Ответ: 3

Задача №10. На рисунке изображен график функции f(x), и отмечены точки -2, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Задание чем-то похоже на первое: чтобы найти значение производной, нужно построить касательную к этому графику в точке и найти коэффициент k.

Если прямая убывает, k < 0.

Если прямая возрастает, k > 0.

Подумаем, как значение коэффициента отразится на наклоне прямой:

При k = 1 или k = − 1 график будет посередине между осями Х и У.

Чем ближе прямая к оси Х, тем ближе коэффициент k нулю.

Чем ближе прямая к оси Y, тем ближе коэффициент k к бесконечности.

В точке -2 и 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y => именно там и будет наименьшее значение производной

Ответ: 1

Задание №11. Прямая является касательной y = 3x + 9 к графику функции y = x³ + x² + 2x + 8 . Найдите абсциссу точки касания.

Прямая будет касательной к графику, когда графики имеют общую точку, как и их производные. Приравняем уравнения графиков и их производные:

Решив второе уравнение, получаем 2 точки. Чтобы проверить, какая из них подходит, подставляем в первое уравнение каждый из иксов. Подойдет только один.

Кубическое уравнение совсем решать не хочется, а квадратное за милую душу.

Вот только, что записывать в ответ, если получится два "нормальных" ответа?

При подстановке икса (х) в первоначальные графики y = 3x + 9 и y = x³ + x² + 2x + 8 должен получиться один и тот же Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Верно! Значит x=1 и будет ответом

Задание №12. Прямая y = − 5x − 6 является касательной к графику функции ax² + 5x − 5 . Найдите a .

Аналогично приравняем функции и их проивзодные:

Решим эту систему относительно переменных a и x :

Ответ: 25

Задание с производными считается одним из самых сложных в первой части ЕГЭ, однако, при небольшой доли внимательности и понимания вопроса у вас все получится, и вы поднимете процент выполнения этого задания!

Пример 1

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны: В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Пример 2

Вычислить производную функции в точке

, , полное исследование функции и др.

Пример 3

Вычислить производную функции в точке . Сначала найдем производную:

Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке :

В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому-что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.

Пример 4

Вычислить производную функции в точке .

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной кграфику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.

Рассмотрим «демонстрационный» простейший пример.

Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Я сразу приведу готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Строгое определение касательной даётся с помощью определения производной функции , но пока мы освоим техническую часть вопроса. Наверняка практически всем интуитивно понятно, что такое касательная. Если объяснять «на пальцах», то касательная к графику функции – это прямая , которая касается графика функции в единственной точке. При этом все близлежащие точки прямой расположены максимально близко к графику функции.

Применительно к нашему случаю: при касательная (стандартное обозначение) касается графика функции в единственной точке .

И наша задача состоит в том, чтобы найти уравнение прямой .

Производная функции в точке

Как найти производную функции в точке? Из формулировки следуют два очевидных пункта этого задания:

1) Необходимо найти производную.

2) Необходимо вычислить значение производной в заданной точке.

Пример 1

Вычислить производную функции в точке

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:


В некоторых заданиях бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке :

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить производную функции в точке

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремум , исследование функции на перегиб графика , полное исследование функции и др.

Но рассматриваемое задание встречается в контрольных работах и само по себе. И, как правило, в таких случаях функцию дают достаточно сложную. В этой связи рассмотрим еще два примера.

Пример 3

Вычислить производную функции в точке .
Сначала найдем производную:

Производная, в принципе, найдена, и можно подставлять требуемое значение . Но что-то делать это не сильно хочется. Выражение очень длинное, да и значение «икс» у нас дробное. Поэтому стараемся максимально упростить нашу производную. В данном случае попробуем привести к общему знаменателю три последних слагаемых: в точке .

Это пример для самостоятельного решения.

Как найти значение производной функции F(x) в точке Хо? Как вообще это решать?

Если формула задана, то найти производную и вместо Х подставить Х-нулевое. Посчитать
Если речь идет о б-8 ЕГЭ, график, то надо найти тангенс угла (острый или тупой) , который образует касательная с осью Х (с помощью мысленного построения прямоугольного треугольника и определения тангенса угла)

Тимур адильходжаев

Во-первых, надо определиться со знаком. Если точка х0 находится в нижней части координатной плоскости, то знак в ответе будет минус, а если выше, то +.
Во-вторых, надо знать что такое тангес в прямоугольном прямоугольнике. А это соотношение противолежащей стороны (катета) к прилежащей стороне (тоже катета) . На картине обычно есть несколько черных отметок. Из эти отметок составляешь прямоугольный треугольник и находишь тангес.

Как найти значение производной функции f x в точке x0?

В общем случае, что бы найти значение производной какой-либо функции по некоторой переменной в какой-либо точке, нужно продифференцировать заданную функцию по этой переменной. В вашем случае по переменной Х. В полученное выражение вместо Х поставить значение икса в той точке, для которой надо найти значение производной, т.е. в Вашем случае подставить нулевой Х и вычислить полученное выражение.

Ну а ваше стремление разобраться в этом вопросе, на мой взгляд, бесспорно заслуживает +, который ставлю с чистой совестью.

Такая постановка задачи на нахождение производной часто ставится для закрепления материала на геометрический смысл производной. Предлагается график некоей функции, совершенно произвольной и не заданной уравнением и требуется найти значение производной (не саму производную заметьте!) в указанной точке Х0. Для этого строится касательная к заданной функции и находится точки ее пересечения с осями координат. Потом составляется уравнение этой касательной в виде y=кx+b.

В этом уравнении коэффициент к и будет являться значением производной. остается лишь найти значение коэффициента b. Для этого находим значение у при х=о, пусть оно равно 3 - это и есть значение коэффициента b. Подставляем в исходное уравнение значения Х0 и У0 и находим к - нашу значение производной в этой точке.